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  PROGRAM  : ENTRO.CPP
  COPYRIGHT: (c) 1996 University of Berne, Switzerland, Computerlab KL
  REVISION : 2.00
  DATE     : 17-Oct-96
  PURPOSE  : Simulation of heat transfer in one dimenstion
  REMARKS  : See published article in VSMP-Bulletin Oct 96
  COMPILE  : BC V4.5

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  REV     DATE       BY                 PURPOSE
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 1.00    26-Jan-96   A. Pluess          Ported from DOS C to Windows C++
 2.00    26-Jan-96   A. Pluess          Ported from WinGraph to Champ

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  Beschreibung des Modells:
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  Zwei eindimensionale Systeme 1 bzw. 2 sind aneinandergefgt und bestehen
  aus 20 bzw. 60 Teilchen. Ein Teilchen kann den Zustand "kalt" oder "heiss"
  mit der Energie 0 bzw. 1 (in irgendeiner Energieeinheit) annehmen.

  Die Teilchen knnen wie folgt miteinander wechselwirken:
  Zu jedem Zeitschritt wird zufllig ein Teilchen und zufllig sein
  linker oder rechter Partner ausgewhlt. Das ausgewhlte Teilchen gibt
  seinem Partner seine Energie ab, d.h. nur falls es heiss und sein
  Partner kalt ist, erfolgt ein Energieaustausch.

 (Liegt das Teilchen auf dem Rand, so ist der Partner das im Inneren
  liegende beachbarte Teilchen. Bei einem abgeschlossenen System, d.h.
  konstanter Anzahl heisser Teilchen, fhrt dies zu einem fehlerhaften
  "Randeffekt", d.h. es sind nicht genau alle Verteilungen gleichwahr-
  scheinlich. Der Fehler wird hier vernachlssigt.)

  Zu Beginn sind alle n = 20 Teilchen des Systems 1 im Zustand "heiss"
  alle 60 Teilchen von System 2 im Zustand "kalt".


  Definitionen:
  ------------

  Information:
  -----------
  Unter der Information versteht man die Anzahl Fragen, die man bei optimaler
  Fragestellung im Mittel stellen muss, um den Informationsmangel zu beseitigen.
  (Beispiel: Um eine Zahl a aus 1..16 herauszufinden, bentigt man optimal 4
             Fragen (nach dem Prinzip der binren Suche):
                             a < 8?
                             /   \
                        a < 12?  a < 4?
                        /   \    /   \
                                      a < 2?
                                      /   \
                                          a = 1?
                                          /   \
                                             a=1


  Besitzt ein System W (hier 16) gleichwahrscheinliche Zustnde, so bentigen
  wir ld W (hier 4) Fragen, d.h. fr die Information gilt:

                      I = ld W  (in bit)


  Entropie:
  --------
  In einem bestimmten Zeitpunkt wisse man von einem System, dass es n Teilchen
  enthalte und die Energie k betrage, d.h. dass sich k Teilchen im Zustand
  "heiss", d.h. n-k Teilchen im Zustand "kalt" befinden (makroskopische Kennt-
  nis ber das System).

  Man besitze allerdings keine Kenntnis, welche k der n Teilchen mit den Nummern
  1..n heiss bzw. kalt seien (mikroskopische Kenntnis des Systems).
  Unter der Entropie (in der Einheit "bit") versteht man diese uns fehlende
  Information, d.h. den Informationsmangel, der uns bei nur makroskopischer
  Betrachtung von der genauen mikroskopischen Kenntnis trennt.

  Die optimale Fragestragegie besteht nicht darin, der Reihe nach fr alle
  Teilchen 1..n zu Fragen, ob es heiss sei, da man bereits die Kenntnis
  besitzt, dass k Teilchen heiss sind. Das folgende Vorgehen ist angebracht:

  Jeder Mikrozustand ist eine Realisation, wie man k heisse Teilchen in
  total n Teilchen anordnen kann. Denkt man sich die n Teilchen von 1..n
  numeriert, so besteht ein Zustand aus der Aufzhlung von k Zahlen im
  Bereich 1..n (Beispiel: "Heiss sind 2,3,5,7").

  Kombinatorisch handelt sich um die Frage, wie oft man k Zahlen aus n Zahlen
  ohne Bercksichtiung der Anordnung auswhlen kann. Man nennt dies
  Kombinationen. Die Kombinatorik liefert dafr: W = n tief k

  Um den mikrospopischen Zustand zu erfahren, mssen wir herausfinden, welcher
  der W (gleichwahrscheinlichen) Flle realisiert ist. Daher betrgt die
  Entropie

                 S = ld W


  Temperatur:
  ----------
  Die Temperatur bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Auftretens
  der verschiedenen Energiezustnde im thermodynamischen Gleichgewicht.
  Nach der Boltzmannverteilung gilt fr die Wahrscheinlichkeit, dass ein
  Teilchen die Energie E besitzt: w = 1/Z*exp(-E/kT). Ist die Energie der
  heissen Teilchen E und die der kalten 0, so folgt:  whot = 1/Z*exp(-E/kT),
  wcold = 1/Z, bzw. fr die (mittlere) Anzahl Teilchen
  nhot = whot*ntot, ncold = wcold*ntot, bzw. ncold/nhot = wcold/whot =
  exp(E/kT). Aufgelst: T = E / ( k*log(ncold/nhot) ). Ist nhot grsser als
  ncold, so wird die Temperatur negativ, was darauf hinweist, dass das System
  nicht im thermodynamischen Gleichgewicht ist.


  Entropie bei einem zusammengesetzen System:
  ------------------------------------------

  Fr zwei Systeme 1 und 2, welche Teil eines zusammengesetzten Systems sind,
  sollen (bei je bekannter Teilchenzahl und Anzahl heisser Teilchen, d.h. ihrer
  totalen Energien), die Anzahl Realisationen W1 bzw. W2 betragen.
  Die Anzahl Realisationen des zusammengesetzten Systems betrgt dann
  W =  W1 * W2 (fr jede Realisation von System 1 gibt es W2 Realisationen von
  System 2).

  Fr die Entropie des zusammengesetzten Systems gilt also

              S = ld W = ld (W1*W2) = ld W1 + ld W2 = S1 + S2
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